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math in English

n! = \Pi_{i=1}^{n}: the factorial of a non-negative integer n.
nCk = \frac{n!}{k!(n-k)!}: n choose k, k combinations of n
nPk = \Pi_{i=n-k+1}^{n}: k permutations of n

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LASSOとBasis pursuit

LASSOとBasis pursuitの違いが良く分からない.

Basis pursuitは過完備基底を仮定しているのに対して,LASSOはそうではないと考えていたのだけど,GPSR(Gradient Projection for Sparse Reconstruction)の論文によると,
LASSO:
minimize |y-Ax|_2
subject to |x|_1<epsilon
Basis pursuit:
minimize |x|_1
subject to y=Ax
となっている.
どちらも制約付最小二乗法と見なせるが,LASSOはfidelity termにエラーを許容しているのに対して,Basis pursuitはy=Asであるとしている所が違うのかな?

ということは,
minimize |Ax-y|_2+Lambda|x|_1
という最適化問題はLASSOという事になるのかな.

うーん本質的な違いがイマイチ分からないなぁ.

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L^2

L^2とはSquare-integrable functionによって形成される空間のこと.

Square-integrable functionとは,ある関数fの絶対値の2乗の積分(マイナス∞から∞までの区間)が有限な値である関数.このような関数は内積空間を形成する.

これを一般化したL^p spaceとは関数fのLpノルムの積分値が有限である関数が形成する空間のこと.

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Smooth function

ある関数fに対して,k階の導関数が存在してかつ連続である時,fはC^k級の関数である.

つまり,ある関数fがC^kであると記述されていれば,それはk回微分可能な関数なんだなーと思えばいい.